Equivalências lógicas

Duas expressões são logicamente equivalentes quando produzem os mesmos resultados para todas as combinações possíveis de valores.

Verificamos isso comparando as tabelas verdade: se as colunas finais são idênticas, as expressões são equivalentes.

Notação alternativa muito usada em eletrônica e circuitos: · (ponto) para E e + para OU. Assim, A ∧ B pode ser escrito como A·B e A ∨ B como A+B.

Imagine que o alarme dispara nas seguintes situações (cada linha é um caso):

(A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C)

Isso parece complexo, mas podemos simplificar! Nos dois primeiros termos, A e B são comuns:

(A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C) = A ∧ B ∧ (C ∨ ¬C) = A ∧ B (pois C ∨ ¬C é sempre V)

Então fica: (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C) = A ∧ (B ∨ (¬B ∧ C)) = A ∧ (B ∨ C)

Resultado final: A ∧ (B ∨ C) — muito mais simples! E produz exatamente os mesmos resultados.

A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

Funciona como a distributiva da matemática: a × (b + c) = ab + ac.

Na notação alternativa: A·(B+C) = A·B + A·C — idêntico à álgebra!

As Leis de De Morgan permitem 'distribuir' a negação, trocando ∧ por ∨ e vice-versa:

¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B) — "não é verdade que ambos" = "pelo menos um é falso"

¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B) — "não é verdade que algum" = "ambos são falsos"

Exemplo do professor: "NÃO (está quente E está úmido)" = "NÃO está quente OU NÃO está úmido".

Essas leis são usadíssimas em programação para simplificar condições if/else complexas.